Subspace topology

1. Definition / Satz

Sei ein topologischer Raum $(X, \mathcal{T})$geben, mit einer Teilmenge $U \subseteq X$, so ist die Unterraumtopologie auf $\mathcal{T}$ definiert als:

\begin{align*} \mathcal{T}_U \coloneqq \{O \cap U \vert O \in \mathcal{T}\} \end{align*}

2. Beweis

2.1. triviale Mengen

$\emptyset, O \in \mathcal{T}_U$ folgt aus $\emptyset = O \cap \emptyset$ und $O = O \cap X$

2.2. Abgeschlossenheit

Seien $O_i = O \cap U_i \in \mathcal{T}_U$, so gilt für:

beliebige Vereinigungen (vgl. Allgemeine Distributivgesetz für Vereinigung und Schnitt):

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} O_i =& \bigcup_{i \in I} O \cap U_i \\ =& O \cap \bigcup_{i \in I} U_i \in \mathcal{T}_U \end{align*}

für endliche Durchschnitte

\begin{align*} \bigcap_{i = 1}^n O_i =& \bigcap_{i = 1}^n O \cap U_i \\ =& O \cap \bigcup_{i = 1}^n U_i \in \mathcal{T}_U \end{align*}

3. see:

Subspace topology as initial topology for the inclusion