openness and neighbourhood for all points
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum,
TFAE:
2. Beweis
2.1. 1) \(\implies\) 2)
Man wähle \(O\) als Umgebung - folgt aus der Definition.
2.2. 2) \(\implies\) 3)
trivial, z.B. \(U\) selbst
2.3. 3) \(\implies\) 1)
Man wähle für \(x\) eine offene Menge \(x \in O_x \subseteq U_x\) aus und nach der Abgeschlossenheit von Vereinigungen folgt \(\bigcup_{x \in O} O_x \in \mathcal{T}\). Insbesondere gilt \(\bigcup_{x \in O} O_x = O\), da für \(x \in O\) mind. \(O_x\) existiert und für alle \(O_x\) gilt: \(O_x \subseteq U_x \subseteq O\)