Closure of the neighbourhood system under finite intersection

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(x \in X\) ein Punkt, so gilt für endlich viele Umgebungen \(U_i \in \mathcal{U}(x)\)

\begin{align*} \bigcap_{j=1}^n U_j \in U(x) \end{align*}

Nach Annahme existieren offene Mengen \(O_i \subseteq U_i\) und wegen der Abgeschlossenheit gegenüber Schnitten ist \(\bigcup_{j =1}^n O_i\) offen Wegen \(\bigcup_{j=1}^{n} O_i \subseteq \bigcup_{j=1}^n U_j\) ist somit auch der Durchschnitt eine Umgebung