ultrafilter and complement

1. Definition

Sei $X$ eine Menge und $\mathcal{F}$ ein Mengenfilter. TFAE:

$\mathcal{F}$ ist ein Ultrafilter
Für $A \subseteq X$ gilt $A \in \mathcal{F} \lor X \setminus A \in \mathcal{F}$

2. Beweis

2.1. a)

Sei $A \subseteq X$ und $\mathcal{F}$ ein Ultrafilter. Da endliche Durchschnitte von Elementen aus $\mathcal{F}$ nichtleer sind, existieren keine Mengen $F_1,F_2$ mit

\begin{align*} F_1 \subseteq& A \\ F_2 \subseteq& X \setminus A \end{align*}

Daraus folgt, dass jede Menge in $\mathcal{F}$ $A$ oder das Komplement $X \setminus A$ nichttrivial schneidet. (sonst widerspruch durch einen schnitt zweier mengen) Wir nehmen an, dass $F \cap A \neq \emptyset$ für alle $F \in \mathcal{F}$, so dass folgt:

\begin{align*} \mathcal{F} \cup \{F \cap A \vert A \in \mathcal{F}\} \end{align*}

eine Ultraverfeinerung ist. Nach Annahme gilt dann aber $\mathcal{F} = ⟨ \mathcal{F} ∪ \{F ∩ A | A ∈ \mathcal{F}\}⟩

2.2. b)

wohldefiniert nach obigen Bemerkungen, beide Mengen können nicht gleichzeitig in einem Filter sein, sonst widerspruch