Feinere Topologie und Identitätsabbildung

1. Satz

Sei \(X\) eine Menge und \((X, \mathcal{T})\) sowie \((X, \mathcal{T}')\) Topologien auf \(X\).

die Identitätsabbildung \(\mathrm{id}_{} X \rightarrow X\) mit \((X, \mathcal{T}) \rightarrow (X, \mathcal{T}')\) ist stetig
\(\mathcal{T}\) ist eine feinere Topologie als \(\mathcal{T}'\)

2. Beweis

2.1. a) stetig \(\Rightarrow\) fein

Sei \(A \in \mathcal{T}'\), so ist \(\mathrm{id}_{}^{-1}[A] = A\) und wegen der stetigkeit gilt \(A \in \mathcal{T}\), d.h. es folgt \(\mathcal{T}' \subseteq \mathcal{T}\)

2.2. b) fein \(\Rightarrow\) stetig

Sei \(A \in \mathcal{T}'\), so ist \(\mathrm{id}_{}^{-1}[A] = A\) und wegen der Feinheit von \(\mathcal{T}\) folgt auch \(A \in \mathcal{T}\), d.h. nach Definition ist \(\mathrm{id}\) stetig