openness in a subspace
1. Satz
Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum und \(U \subseteq X\) Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
- jede offene Menge \(A\) in der Unterraumtopologie \(\mathcal{T}_U\) ist offen in \(\mathcal{T}\)
- \(U\) ist offen in \(\mathcal{T}\)
2. Beweis
2.1. a)
Sei \(A \in \mathcal{T}_U\), so existiert eine offene Menge \(U' \in \mathcal{T}\) mit \(A = U \cap U'\) Wegen der Abgeschlossenheit gegenüber endlichen Schnitten folgt dann, dass \(A\) in \(\mathcal{T}\) offen ist
2.2. b)
Insbesondere ist \(U\) offen in \(\mathcal{T}_U\) und damit nach Annahme auch \(U \in \mathcal{T}\)