units of a polynomial ring over an integral domain
1. Satz
Sei \(R\) ein Integritätsbereich und \(R^{\times}\) die Menge der Einheiten (Ring). Dann gilt für den Polynomring \(R[X]\)
\begin{align*} R[X]^{\times} \cong R^{\times} \end{align*}2. Beweis
2.1. a)
Folgt aus der Existenz der Konstanten Polynome
2.2. b)
Sei \(e \in R[X]^{\times}\), d.h. es existiert ein \(e' \in R[X]\) mit \(e \cdot e' = 1\), so folgt nach dem Grad von Polynomen unter Multiplikation in einem Integritätsbereich
\begin{align*} 0 =& \mathrm{deg}(1) \\ =& \mathrm{deg}(e) + \mathrm{deg}(e') \end{align*}und damit auch \(\mathrm{deg}(e), \mathrm{deg}(e') = 0\), d.h. \(e = a_0 \in R[X] \setminus \{0\}\)