prime ideal and quotient ring as integral domain
1. Satz
Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(I\) ein Ideal.
TFAE:
- \(I\) ist ein Primideal
- \(R/I\) ist ein Integritätsbereich (damit auch ungleich vom Nullring)
2. Beweis
2.1. a)
Sei \(I\) ein Primideal und \(x,y \in R\) mit
\begin{align*} (x + I) \cdot (y + I) =& x y + I \\ =& 0 + I \end{align*}Dies ist der Fall g.d.w. \(x \cdot y \in I\) gilt und damit folgt nach Annahme \(x \in I\) oder \(y \in I\). Sei o.B.d.A. \(x \in I\), so folgt aber auch
\begin{align*} (x + I) =& I \\ =& 0 + I \end{align*}2.2. b)
Sei \(R/I\) ein Integritätsbereich und \(x,y \in R\) mit \(x \cdot y \in I\) Dann folgt
\begin{align*} 0 + I =& x \cdot y + I \\ =& (x + I) \cdot (y + I) \end{align*}und da \(R/I\) ein Integritätsbereich ist, folgt o.B.d.A. \(x + I = 0 + I\) und damit \(x \in I\) Damit ist \(I\) nach Definition ein Primideal, da zudem auch ein \(r \in R\) existiert mit \(r + I \neq 0 + I\) bzw. \(r \not\in I\), i.e. \(I\) ist ein echtes ideal