Sum of a nilpotent and a unit as unit

Sei \(R\) ein kommutativer Ring und \(r \in R^{\times}\) eine Einheit sowie \(x \in R\) ein nilpotentes Elements Dann ist \(r + x\) ebenfalls eine Einheit.

Nach Annahme existiert ein \(n \in \mathbb{N}\) mit \(x^n = 0\) und insbesondere ein \(i \in \mathbb{N}\) mit \(2^i \geq n\). Zudem ist Menge der Einheiten eine Gruppe, d.h. \(r^j\) ist ebenfalls eine Einheit. Damit lässt sich iterativ vorgehen, indem man die 3. binomische Formel anwendet:

\begin{align*} (r + x) (r - x) =& r^2 - x^2 \end{align*}

Daraus folgt

\begin{align*} (r + x) \cdot \left( (r - x) \cdot \prod_{i = 2}^i (r^{2^{i-1}} + x^{2^{i-1}} \right) =& r^{2^i} - x^{2^i} \\ =& r^{2^i} \end{align*}