unit group
1. Definition
Sei \(R\) ein kommutativer Ring. Dann ist die Menge der Einheiten \(R^{\times}\) eine abelsche Gruppe
2. Beweis
zu zeigen: Kriterium für eine Untergruppe
2.1. nichtleer
\begin{align*}
1 \cdot 1 = 1 \Rightarrow 1 \in R^{\times} \neq \emptyset
\end{align*}
2.2. abgeschlossenheit
Seien \(a,b^{-1} \in R^{\times}\) So folgt nach konstruktion, dass \(a^{-1}, b\) existieren mit o.B.d.A. \(a^{-1} \cdot a = 1\). Daraus folgt:
\begin{align*} (a \cdot b^{-1}) \cdot (b \cdot a^{-1}) =& 1 \\ \Rightarrow a \cdot b^{-1} \in R^{\times} \end{align*}