unit as a regular elemennt

Sei \(R \neq 0\) ein Ring und \(r \in R^{\times}\) eine Einheit, dann ist \(r\) kein Nullteiler.

Nach Annahme existiert ein \(r^{-1}\) mit \(r \cdot r^{-1} = 1\). Zusätzlich gilt \(r \neq 0\), da sonst für alle \(r' \ni R\), und damit auch \(r^{-1}\) gelten würde: \(r \cdot r^{-1} = 0\) Sei \(x \in R\) mit \(r \cdot x = 0\), so folgt:

\begin{align*} r \cdot x =& 0 \vert r^{-1} \cdot \\ r^{-1} \cdot r \cdot x =& r^{-1} 0 \\ 1 \cdot x =& 0 \\ x =& 0 \end{align*}

Und damit ist \(r\) nach Definition kein Nullteiler.