prime implies irreducible

Sei \(R\) ein Integritätsbereich, dann ist jedes Primelement \(p\) ein irreduzibles Element.

Seien \(a,b \in R\) mit \(p = ab\), so gilt \(p \mid ab\). Daraus folgt o.B.d.A. \(p \mid a\). Damit existiert ein \(x \in R\) mit \(a = xp\) und es folgt \(p = xpb\). Somit gilt \(p \cdot (1 - xb) = 0\) und da \(R\) nullteilerfrei ist, folgt somit \(xb = 1\) und damit insbesondere \(b \in R^{\times}\)