Äquivalente Charakterisierung eines T3-Raums

1. Satz

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum. TFAE:

\(X\) ist ein T3-Raum
Für \(x \in X\) und eine offene Menge \(O\) mit \(x \in O\) existiert eine abgeschlossene Umgebung \(\overline{U}\) mit \(\overline{U} \subseteq O\)

2. Beweis

2.1. 1) \(\implies\) 2)

Für \(x \in O\) mit \(O\) offen ist \(A \coloneqq X \setminus O\) abgeschlossen. Nach Annahme existiert damit eine Umgebung \(U_x\) von \(x\) und eine Umgebung \(U_A\) von \(A\) mit \(U_x \cap U_A = \emptyset\) o.B.d.A. sei \(U_A\) offen, so ist \(X \setminus U_A\) eine Umgebung von \(x\), da \(U_x \subseteq X \setminus U_A\) gilt. Zusäztlich ist \(X \setminus U_A\) nach Konstruktion abgeschlossen

2.2. 2) \(\implies\) 1)

Sei \(x \in X\) und \(A \subseteq X\) abgeschlossen mit \(x \not\in A\). Dann ist \(O \coloneqq X \setminus A\) offen und es existiert nach Annahme eine abgeschlossene Umgebung \(\overline{U} \subeseteq O\). Daraus folgt, dass \(X \setminus \overline{U}\) offen ist mit \(A \subseteq X \setminus \overline{U}\), d.h. auch eine Umgebung