Satz von Tychonoff und Auswahlaxiom
1. Satz
Das Auswahlaxiom ist äquivalent zum Satz von Tychonoff
2. Beweis
2.1. Axiom of choice \(\implies\) Tychonoff
folgt aus Satz von Tychonoff
2.2. Satz von Tychonoff \(\implies\) Axiom of choice
Auf \(X_i\) sei die indiskrete Topologie \(\mathcal{T}_i\) gegeben Für jede Menge \(X_i\) fügen wir ein neues Element \(\infty_i\) hinzu. Die Topologie auf \(X_i \sqcup \{\infty_i\}\) ist die topologische Summe, d.h. \(X_i \subseteq X_i \cup \{\infty_i\}\) mit \(X_i\) abgeschlossen. Dabei ist \(X_i \cup \{\infty_i\}\) kompakt und \(\prod_{i \in I} (X_i \sqcup \{\infty_i\})\) ist nichtleer wegen \((\infty_i)_{i \in I}\)
Angenommen es gilt
\begin{align*} \prod_{i \in I} X_i \subsetneq \prod_{i \in I} X_i \sqcup \{\infty_i\}$ \text{ist leer } \end{align*}Dann gilt
\begin{align*} \emptyset = \prod_{i \in I} X_i = \bigcap_{i \in I} \pi_i^{-1}[X_i] \end{align*}mit \(X_i\) nach Annahme abgeschlossen
wegen der Kompaktheit von \(X\) existieren endlich viele \(\bigcap_{i=1}^n \pi_{i}[X_i] = \emptyset\) Sei \(x_{i_1} \in X_{i_1}, x{i_k} \in X_i\) (endilches Auswahlaxiom) Dann ist \(x = (x_\lambda)_{\lambda \in I}\) mit
\begin{align*} x \lambda = \begin{cases} x_{i_n} & \mbox{if } \lambda = i_n \\ \infty_\lambda & \mbox{else } \\ \end{cases} \end{align*}