Tychonoff's Theorem

1. Satz

Sei \((X_i, \mathcal{T}_i)\) eine Familie topologischer Räume. TFAE:

Für beliebiges \(i \in I\) ist \(X_i\) Kompakt.
die Produkttopologie \(X \coloneqq \prod_{i \in I}\) mit der Produkttopologie ist Kompakt.

2. Beweis

2.1. 1) \(\implies\) 2)

Sei \(\mathcal{F}\) ein Ultrafilter auf \(X\), so ist wegen der Aussage über den Bildfilter eines Ultarfilters als Ultrafilters\(\pi_i[\mathcal{F}]\) ebenfalls ein Ultrafilter. Nach der Kompaktheit und konvergenz eines Ultrafilters konvergiert \(\pi_i[\mathcal{F}] \rightarrow x_i\) für ein \(x_i \in X\) und somit nach der Konvergenz eines Filters und Konvergenz der Projektionsfilter auch gegen

\begin{align*} \mathcal{F} \rightarrow (x_i)_{i \in I} \end{align*}

Dabei wird hier das Axiom of choice verwendet, indem \(\prod_{i \in I} \{\text{ Grenzwerte von }\pi_{i}[\mathcal{F}]\}\) nichtleer ist. Damit konvergiert \(\mathcal{F}\) und somit ist \(X\) kompakt.

2.2. 2) \(\implies\) 1)

Es gilt \(\pi_i[X] = X_i\) und nach der Kompaktheit des Bildes einer kompakten Menge einer stetigen Funktion folgt, dass \(X_i\) Kompakt ist.