equivalent characterization of a compact space

folgt aus den De Morgansche Gesetze (Mengenlehre) Sei \(\bigcap_{i = 1}^{n} A_i = \emptyset\), so ist \(U_i \coloneqq X \setminus A_i\) eine offene Überdeckung von \(X\). Nach Annahme existieren endlich viele mit \(\bigcup_{i=1}^n U_i = X\) und es folgt

\begin{align*} \emptyset =& X \setminus X \\ =& X \setminus (\bigcup_{i =1}^{n} U_i) \\ =& \bigcap_{i = 1}^{n} X \setminus U_i \\ =& \bigcap_{i=1}^n X \setminus (X \setminus A_i) \\ =& \bigcap_{i=1}^n A_i \\ \end{align*}

folgt analog aus den De Morgansche Gesetze (Mengenlehre)

Angenommen es existiert kein Häufungspunkt, dann gilt

\begin{align*} \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F} = \emptyset \end{align*}

Nach Annahme existieren endlich viele \(F_i \in \mathcal{F}\) für \(i \in \{1,...,n\}\) mit \(\bigcap_{i = 1}^{n} F_i \subseteq \bigcap_{i=1}^n \overline{F}_i \emptyset\). dies ist aber ein Widerspruch zur Konstruktion eines Mengenfilters, da endliche Durchschnitte enthalten sind aber \(\emptyset \not\in \mathcal{F}\)

Sei \(F\) ein Ultrafilter. Nach Annahme existiert ein Häufungspunkt \(x \in X\). Sei \(\mathcal{G}\) ein Ultrafilter, welcher den Umgebungsfilter \(\mathcal{U}\) verfeinert, dann ist \(\mathcal{G}\) eine Verfeinerung von \(\mathcal{F}\). Da aber \(\mathcal{F}\) ein Ultrafilter ist, folgt nach Definition \(\mathcal{G} = \mathcal{F}\) und somit auch \(\mathcal{F} \rightarrow x\)

Sei \(A_i\) eine Familie abgeschlossener Mengen mit \(\bigcap_{i} A_i = \emptyset\). Angenommen es existiert kein \(J \susbeteq I\) endlich mit \(\bigcap_{j \in J} A_j = \emptyset\). Dann sind die \(A_i\) eine Filterbasis für einen Mengenfilter. Es gibt \(\mathcal{G} \supseteq \mathcal{F}\) als Ultrafilter und nach 4) konvergiert \(\mathcal{G} \rightarrow x\). Damit folgt, dass jede Umgebung von \(x\) in \(\mathcal{G}\) liegt. Wegen \(\bigcap_{i \in I} A_i = \emptyset\) existiert aber eine Menge \(A_i\) mit \(x \not\in A_i\). Damit folgt aber auch, dass \(X \setminus A_i\) eine Umgebung von \(G\) ist und somit auch in \(\mathcal{G}\). Dies ist aber ein Widerspruch zur Aussage über einen Ultrafilter und genau ein Komplement, da \(X \setminus A_i \cap A_i = \emptyset \not\in \mathcal{F}\)