neighbourhoodfilter

Sei \((X, \mathcal{T})\) ein topologischer Raum. Das Umgebungssystem ist ein Mengenfilter

1. \(\emptyset \not\in \mathcal{U}(x)\) wegen \(x \not\in \emptyset\), \(X \in \mathcal{U}(X)\) wegen \(x \in X \in \mathcal{T}\)
2. folgt aus der Definition einer Umgebung: ist \(U \in \mathcal{U}(x)\) und \(U \subseteq U'\) so ist auch \(U'\) eine Umgebung (da eine offene Menge \(O\) existiert mit \(0\) \subseteq U \subseteq U'$
3. folgt aus der Abgeschlossenheit des Umgebunggsystems unter Durchschnitt