product topology

Sei \((X_i, \mathcal{T}_i)\) eine Familie von Topologien, \(X \coloneqq \prod_{i \in I} X_i\) das allgemeine kartesische Produkt und \(\pi_i: X \rightarrow X_i\) die kanonische Projektion Dann ist die Produkttopologie \((X, \mathcal{T})\) definiert durch die Basis.

\begin{align*} \mathcal{B} = \{\bigcap_{k \in K} \pi_{k}^{-1}(O_k) \vert O_k \in \mathcal{T}_k, \vert K \vert < \infty \} \end{align*}

nach der Bedingung für eine Basis einer Topologie