Bedingung für eine Basis einer Topologie

Nach den Mengen in einer Topologie ist \(X\) offen, d.h. es existieren \(A_i \in \mathcal{B}\) mit \(\bigcup_{i \in I} A_i = X\). Desweiteren gilt \(\bigcup_{i \in I} A_i \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{B}} A \subseteq X\), so dass folgt:

\begin{align*} \bigcup_{A \in \mathcal{B}} A = X \end{align*}

Nach der Abgeschlossenheit gegenüber endlichen Schnitten (Topologie) folgt, dass \(O \cap O'\) offen ist und nach Konstruktion existieren damit \(A_i \in \mathcal{B}\) mit \(\bigcup_{i \in I} A_i = O \cap O'\)

Für die von der Basis induzierte Topologie \((X, \mathcal{T}')\) gilt:

\begin{align*} \emptyset = \bigcup_{i = 1}^0 A_i \in \mathcal{T}' \end{align*}

Zudem gilt wegen der ersten Forderung

\begin{align*} X = \bigcup_{A \in \mathcal{B}} A \in \mathcal{T}' \end{align*}

folgt aus der Definition einer Basis

folgt aus der zweiten Folgerung: Seien \(O_1,O_2 \in \mathcal{T}'\), so existieren \(A_{i}\) bzw. \(B_{j}\) mit \(O_1 = \bigcup_{i \in I} A_i\) und \(O_2 = \bigcup_{j \in J} B_j\) Nach der allgemeinen Distributivität für Vereinigung und Schnitt folgt:

\begin{align*} \bigcup_{i \in I} A_i \cap \bigcup_{j \in J} B_j = \bigcup_{(i,j) \in I \times J} A_i \cap B_j \end{align*}

Sei \(A_i \cap B_j\) beliebig, so existiert nach Annahme \(\bigcup_{k \in K} C_k = A_i \cap B_j\) und durch Substitution aller Schnitte \(A_i \cap B_j\) folgt, dass \(O_1 \cap O_2\) sich als Vereinigung von Mengen aus \(\mathcal{B}\) darstellen lässt.