Bildfilter eines Ultrafilters als Ultrafilters

Seien \(X,Y\) Mengen, \(f: X \rightarrow Y\) eine Abbildung und \(\mathcal{F}\) ein Ultrafilter auf \(X\). Dann ist der Bildfilter ebenfalls ein ultrafilter

Ultrafilter und genau ein Komplement Sei \(O \subseteq Y\) gegeben, so gilt

\begin{align*} X = f^{-1}[O] \sqcup f^{-1}[Y \setminus O] \end{align*}

Damit ist nach Charakterisierung genau eine Menge, o.B.d.A. \(f^{-1}[O] \in \mathcal{F}\). Nach image of a preimage folgt somit

\begin{align*} f[f^{-1}[O]] \subseteq O \end{align*}

mit

\begin{align*} f[f^{-1}[O]] \in f[\mathcal{F}] \end{align*}