Bildfilter
1. Definition / Satz
Seien \(X,Y\) Mengen und \(f: X \rightarrow Y\) eine Abbildung sowie \(\mathcal{F}\) ein Mengenfilter auf \(X\). Dann ist der Bildfilter \(f[\mathcal{F}]\) der Mengenfilter auf \(f[X] \subseteq Y\) mit der Filterbasis eines Mengenfilters
\begin{align*} \{f[V] \subseteq Y \vert V \in \mathcal{F}\} \end{align*}2. Beweis
2.1. nichtleer
folgt aus \(X \in \mathcal{F}\).
2.2. \(\emptyset \not \in f[X]\)
folgt aus \(\emptyset \not\in \mathcal{F}\)
2.3. obermenge
folgt aus der Konstruktion
2.4. endlicher Durchschnitt
folgt aus Bild und Schnitt sowie der abgeschlossenheit gegenüber der Obermenge