Konvergenz eines Filters und Konvergenz der Projektionsfilter

1. Satz

Sei $(X_i, \mathcal{T}_i)$ eine Familie topologischer Räume und $X \coloneqq \prod_{i \in I} X_i$ das allgemeine kartesische Produkt mit der Produkttopologie. Sei $\mathcal{F}$ ein Mengenfilter auf $X$ in ZFC TFAE:

$\pi_i[\mathcal{F}]$ konvergiert für beliebiges $i \in I$
$\mathcal{F}$ konvergiert

2. Beweis

2.1. 1) $\implies$ 2)

Sei nach Annahme $\pi_i[\mathcal{F}] \rightarrow x_i$, so sei $x \coloneqq (x_i)_{i \in I}$ - hier wird das Axiom of choice angenommen, da aus einer beliebigen Familie von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion angenommen wird. Sei $U \subseteq X$ eine Umgebung von $x$, so sei o.B.d.A. $U = O_1 \times O_2 \times ... \times O_n \prod_{i \neq 1,2,...,n} X_i$ mit Umgebungen $O_i \subseteq X_i$ von $x_i$. Nach Annahme existiert eine Umgebung $O_i \in \pi_i[\mathcal{F}]$ und somit nach Konstruktion auch eine Menge $O_i × …$, o.B.d.A. wegen der abgeschlossenheit gegenüber Obermengen eines Filters als $O_j \times \prod_{i \in I} X_j \eqqcolon Y_j$. Damit folgt nach der Abgeschlossenheit gegenüber endlichen Durchschnitten, dass $U = \bigcap_{i = 1}^n Y_i \in \mathcal{F}$ gilt, d.h. $\mathcal{F} \rightarrow x$.

2.2. 2) $\implies$ 1)

folgt aus der Aussage über die Stetigkeit und Filterstetigkeit sowie stetige Projektionen

Konvergenz eines Filters und Konvergenz der Projektionsfilter

1. Satz

2. Beweis

2.1. 1) \(\implies\) 2)

2.2. 2) \(\implies\) 1)