LinAlg 1 - Übungsblattkorrekturen (25/26)
Blatt 1
Aufgabe 4)
allgemein
- es wurde öfters vergessen, die gesamte Aufgabe zu bearbeiten: also z.B. beide Richtungen der Äquivalenz zu zeigen.
- häufig wurde verschiedene Typen vertauscht, d.h. z.B. \(f \circ g = n\) geschrieben o.ä.: die linke Seite davon ist eine Abbildung von \(N\) nach \(N\) und die rechte Seite ist ein Element in \(n\)
a) + b)
- oft wurde vergessen, die linksseitige/rechtsseitige Umkehrfunktion sauber und explizit zu definieren.
- es wurde oft mathematisch eher unsauber argumentiert, wieso das \(g\) nicht eindeutig sein muss. Einfacher und formaler wäre es, ein Gegenbeispiel anzugeben
- die Richtung "injektiv \(\Rightarrow\) Existenz von \(g\) mit \(g \circ f = \mathrm{id}\)" fiel dabei meist schwerer als die Richtung "Existenz von \(g\) \(\Rightarrow\) \(f\) ist injektiv"
- Interessanterweise gibt es injektive \(f: M \rightarrow N\) bei denen die rechtsseitige Umkehrabbildung eindeutig ist, obwohl \(f\) nicht surjektiv ist (z.B. jede Abbildung \(f: \{1\} \hookrightarrow \{1,2\}\)
c)
- es wurde öfters vergessen, dass die Aufgabe 4a) & 4b) einem ein \(g_L: N \rightarrow M\) und \(g_R: N \rightarrow M\) mit \(g_L \circ f = \mathrm{id}, f \circ g_R = \mathrm{id}\) gibt, aber die Aussage 4c) noch stärker ist, nämlich dass auch noch \(g_L = g_R\) gilt (was man zeigen muss).
Aufgabe 6)
a)
- diese Aufgabe ging ganz gut; es wäre schön, keine Brüche zu verwenden (weil man erst über die Äquivalenzrelation so etwas wie Brüche mathematisch sauber definieren kann)
b)
- die meisten Abgaben haben vergessen, Wohldefiniertheit der Abbildung zu zeigen.
- ich kann euch versprechen, dass man das in Linearer Algebra noch ein dutzend Mal zeigen wird
- siehe: Beweisstruktur: Nachweis von Wohldefiniertheit
Blatt 2
Allgemein
Bei den 12 Abgaben die ich korrigieren durfte waren alle mindestens ordentlich, meist sogar gut bis sehr gut :)
Aufgabe 3)
- die Aufgabe 3b) hat nichts mit der 3a zu tun, d.h. insbesondere gilt auch für eine (abelsche) gruppe auch im Allgemeinen nicht \(g^2 = e\)
Aufgabe 5)
- ich bin nicht ganz glücklich mit der Bezeichnung, „Sie dürfen grundlegende Aussagen zu Primzahlen, wie z.B. die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
verwenden.“. Da es aber da stand, habe ich viele Fakten über Primzahlen akzeptiert. (hier reicht die 5b) & Lemma 1.15 aus)
Blatt 3
Allgemein
Bei den 12 Abgaben die ich korrigieren durfte waren alle mindestens ordentlich, meist sogar gut bis sehr gut :)