LinAlg 1 - paar wichtige Vektorräume

alle endlich dimensionale Vektorräume sind abstrakt isomorph zu \(K^n\).
Nichtsdestotrotz kann z.B. auf natürliche Art und Weise weitere Struktur auf endlich dimensionalen Vektorräumen definiert werden, welche nicht als \(K^n\) betrachtet werden:
zum Beispiel hat \(K^{n \times n}\) eine Matrixmultiplikation etc.

was mir eingefallen ist (für endlich dimensionale K-Vektorräume \(V,V'\) und \(U,U' \subseteq V\)

1. \(K^n\)
   
2. \(K^{n \times m}\) (bzw. Matrizen)
   
3. \(V^* = \mathrm{Hom}(V,K)\)
   
4. \(V/U\)
   
5. \(U \oplus U'\) bzw. \(U + U'\)
   
6. \(V \times V'\)
   
7. der Nullraum \(0\)
   

weitere Versionen
a) \((V^*)^* = \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(V,K),K)\)
b) \(\mathrm{Hom}_{K}(V,V')\)
c) \(K[X]_{\leq n}\) Polynome mit Grad kleiner gleich \(n\).

tendenziell sind diese Vektorräume eher Gegenbeispiele zu Aussagen, die für \(\mathrm{dim}(V) = \infty\) nicht gelten.

• \(K[X]\) (abzählbare dimension) - insbesondere da man eine konkrete Basis angeben kann: \(\{1,X^1,X^2,...\} = \{X^n \vert n \in \mathbb{N}_{0}\}\)
  

weitere Beispiele (die aber komplexer sind als \(K[X]\))

• \(\prod_{n \in \mathbb{N}} K\) (Überabzählbare dimension)
  
• allgemein für eine unendliche Menge \(M\) \(\prod_{m \in M} K\)
  
• natürlich Konstruktionen wie z.B. \(V^*, (V^*)^*\), \(V \times W\) für \(V,W\) unendlich dimensional etc.