Betrag einer komplexen Zahl

Es gilt, dass das Quadrat nicht negativ ist und folglich auch die Abbildung

\begin{align*} \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0 \end{align*}

Für \(z \neq 0\) gilt \(a^2 + b^2 > 0\) und für \(z = 0\) gilt \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{0} = 0\)

Seien \(z,z' \in \mathbb{C}\), dann gilt

\begin{align*} \vert z \cdot z' \vert =& \vert \left(\mathrm{Re}(z) + \mathrm{i} \cdot \mathrm{Im}(z) \right) \left( \mathrm{Re}(z') + \mathrm{i} \cdot \mathrm{Im}(z') \right) \vert \\ =& \vert \mathrm{Re}(z) \cdot \mathrm{Re}(z') - \mathrm{Im}(z) \mathrm{Im}(z') + \mathrm{i} \left( \mathrm{Re}(z) \mathrm{Im}(z') + \mathrm{Re}(z') \mathrm{Im}(z) \right) \vert \\ =& \sqrt{ \left(\mathrm{Re}(z) \cdot \mathrm{Re}(z') - \mathrm{Im}(z) \mathrm{Im}(z') \right)^2 + \left( \mathrm{Re}(z) \mathrm{Im}(z') + \mathrm{Re}(z') \mathrm{Im}(z) \right)^2 } \\ =& \sqrt{ \left(\mathrm{Re}(z)^2\mathrm{Re}(z')^2 + \mathrm{Im}(z)^2\mathrm{Im}(z')^2 - 2 \mathrm{Re}(z) \mathrm{Re}(z') \mathrm{Im}(z) \mathrm{Im}(z') \right)+ \left( \mathrm{Re}(z)^2 \mathrm{Im}(z')^2 + \mathrm{Re}(z')^2 \mathrm{Im}(z)^2 + 2 \mathrm{Re}(z)\mathrm{Im}(z')\mathrm{Re}(z')\mathrm{Im}(z)\right)} \\ % =& \sqrt{ \left(\mathrm{Re}(z)^2\mathrm{Re}(z')^2 + \mathrm{Im}(z)^2\mathrm{Im}(z')^2 - 2 \mathrm{Re}(z) \mathrm{Re}(z') \mathrm{Im}(z) \mathrm{Im}(z') \right)+ \left( \mathrm{Re}(z)^2 \mathrm{Im}(z')^2 + \mathrm{Re}(z')^2 \mathrm{Im}(z)^2 + 2 \mathrm{Re}(z)\mathrm{Im}(z')\mathrm{Re}(z')\mathrm{Im}(z)\right)} \\ =& \sqrt{ \mathrm{Re}(z)^2\mathrm{Re}(z')^2 + \mathrm{Im}(z)^2\mathrm{Im}(z')^2 + \mathrm{Re}(z)^2 \mathrm{Im}(z')^2 + \mathrm{Re}(z')^2 \mathrm{Im}(z)^2} \\ =& \sqrt{ \left(\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2 \right) \cdot \left( \mathrm{Re}(z')^2 + \mathrm{Im}(z')^2 \right) } \\ =& \sqrt{ \mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)} \cdot \sqrt{ \mathrm{Re}(z')^2 + \mathrm{Im}(z')^2 } =& \vert z \vert \cdot \vert z' \vert \end{align*}

sorry :(

Zu zeigen:

\begin{align*} \vert z + w \vert \leq \vert z \vert + \vert w \vert \end{align*}

Aufgrund der Positiven Definitheit und der strikten Isotonie der Abbildung \(f: \mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0\) mit $ x \mapsto x²$ ist das äquivalent zu:

\begin{align*} \vert z + w \vert^2 \leq (\vert z \vert + \vert w \vert)^2 \end{align*} \begin{align*} \vert z + w \vert^2 =& (z + w)( \overline{z + w}) \\ =& (z + w)( \overline{z} + \overline{w} ) \\ =& z \overline{z} + w \overline{w} + z \overline{w} + \overline{z}w \\ \left(\vert z \vert + \vert w \vert \right)^2 =& z \overline{z} + w \overline{w} + 2 \cdot \vert z w \vert \\ =& z \overline{z} + w \overline{w} + 2 \cdot \vert z \vert \cdot \vert w \vert \\ =& z \overline{z} + w \overline{w} + 2 \cdot \vert z \vert \cdot \vert \overline{w} \vert \\ =& z \overline{z} + w \overline{w} + 2 \cdot \vert z\overline{w} \vert \\ \end{align*}

Es gitl zu zeigen:

\begin{align*} 2 \mathrm{Re}( z \overline{w}) \leq& 2 \cdot \sqrt{\mathrm{Re}(z \overline{w})^2 + \mathrm{Im}(z \overline{w})^2} \\ z \overline{w} + \overline{z \overline{w}} \leq& 2 \cdot \sqrt{\mathrm{Re}(z \overline{w})^2 + \mathrm{Im}(z \overline{w})^2} \\ z \overline{w} + \overline{z} w \leq& 2 \cdot \vert z \overline{w} \vert \end{align*}