Inversion einer Klammer (Gruppe)

Sei \(G\) eine Gruppe und \(x,y \in G\), so gilt für das inverse element

\begin{align*} (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} \end{align*}

Nach Definition und Assoziativität gilt

\begin{align*} (xy)^{-1} \cdot (xy) =& 1 \\ (xy)^{-1} \cdot x \cdot y =& 1 \end{align*}

durch Multiplikation von rechts mit \(y^{-1}\) erhalten wir

\begin{align*} (xy)^{-1} \cdot x \cdot y \cdot y^{-1} =& 1 \cdot y^{-1} \\ (x \cdot y)^{-1} \cdot x \cdot 1 =& y^{-1} \\ (x \cdot y)^{-1} \cdot x =& y^{-1} \\ \end{align*}

durch Multiplikation von rechts mit \(x^{-1}\) erhalten wir dann

\begin{align*} (x \cdot y)^{-1} \cdot x \cdot x^{-1} =& y^{-1} \cdot x^{-1}\\ (x \cdot y)^{-1} \cdot 1 =& y^{-1} \cdot x^{-1}\\ (x \cdot y)^{-1} =& y^{-1} \cdot x^{-1}\\ \end{align*}