Äquivalenz von Bijektivität, Surjektivität und Injektivität bei gleich mächtigen, endlichen Mengen

aufgrund der definition von bijektiv trivial

aufgrund der Definition gilt:

\begin{align*} f[A] \subseteq B \end{align*}

Aufgrund der Injektivität gilt:

\begin{align*} \vert f[A] \vert =& \vert A \vert \end{align*}

nach dem Lemma über die Gleichheit einer gleichmächtigen, endlichen Teilmenge folgt:

\begin{align*} f[A] = B \end{align*}

also ist \(f\) surjektiv

\begin{align*} \forall b \in B : f^{-1} [ \{b\}] \neq \emptyset \\ \Rightarrow \forall b \in B : \vert f^{-1} [ \{b\}] \vert \geq 1 \end{align*}

aufgrund des Lemmas über die Menge der Urbilder für einelementige Mengen als Partition

\begin{align*} \vert A \vert =& \vert \cup_{b \in B} f^{-1} [ \{b\} ] \vert \\ =& \sum_{b \in B}^{} \vert f^{-1} [ \{b\} ] \\ \geq& \sum_{b \in B} 1 \\ \sum_{b \in B} 1 =& \vert B \vert \end{align*}

aufgrund von $| B | = | A | $ folgt $ ∑_{b ∈ B}^nil | f^-1[ \{b\}] = ∑_{b ∈ B}^nil 1$
d.h. \(f\) ist injektiv