Schnitt von Vektorräumen als Vektorraum

1. Lemma

Sei \(V\) ein K-Vektorraum und sei \(\{U_i\}_{i \in I}\) eine Familie von Unterräumen. Dann ist auch

\begin{align*} U =& \bigcap_{i \in I} U_i \subseteq V \end{align*}

ebenfalls ein Unterraum

Sind \(u,u' \in U\) und \(\alpha \in K\) , so folgt auch für alle \(i \in I\):

\begin{align*} u + u' \in U_i \\ \alpha \cdot u \in U_1 \end{align*}

da die \(U_i\) auch Unterräume sind. Damit folgt auch

\begin{align*} u + u' \in U \\ \alpha \cdot u \in U \\ \end{align*}