minimal kernel and monomorphism

Sei \(f\) ein Monomorphismus und sei \(f(a) = 1\)
Nach der Abbildung des neutralen Elements eines Homomorphismus gilt \(1 = f(p)\).
Wegen der Injektivität folgt aus \(f(a) = f(1) \Rightarrow a = 1\)

Sei \(\mathrm{ker}(f) = \{1\}\) und sei \(f(a_1) = f(a_2)\)
Dann folgt:

\begin{align*} 1 =& f(a_1) \cdot f(a_1)^{-1} \\ =& f(a_2) \cdot f(a_1)^{-1} \\ \end{align*}

Nach inverse unter monoidhomomorphismen folgt dann weiter

\begin{align*} f(a_2) \cdot f(a_1)^{-1} =& =& f(a_2 \cdot f(a_1^{-1}) \\ =& f(a_2 \cdot a_1^{-1}) \end{align*}

und somit auch \(a_2 \cdot a_1^{-1} \in \mathrm{ker}(f) = \{1\}\)