Dimensionsformel

Sei \(V\) ein endlich erzeugter Vektorraum K-Vektorraum mit den Unterräumen \(U,W \subseteq V\)
Dann gilt:

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(U + W) =& \mathrm{dim}_{K}(U) + \mathrm{dim}_{K}(W) - \mathrm{dim}_{K}(U \cap W) \end{align*}

folgt aus dem Rangsatz:
Sei \(f: U + W \rightarrow (U + W) / W\) gegeben mit \(f(u) = u + W\), so folgt

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(U + W) =& \mathrm{im}(f) + \mathrm{ker}(f) \\ =& \mathrm{dim}_{K}(U/W) + \mathrm{dim}_{K}(W) \\ =& \mathrm{dim}_{K}(U) - \mathrm{dim}_{K}(U \cap W) + \mathrm{dim}_{K}(W) \end{align*}

wobei wir verwenden, dass \(f\) \(K\)-linear und surjektiv ist (nach dem Homomorphiesatz)