rank theorem

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) ein Homomorphismus
Ist \(\mathrm{dim}_{K}(V) < \infty\) so gilt:
Dann gilt

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(V) = \mathrm{dim}_{K}\mathrm{ker}(f) + \mathrm{dim}_{K}\mathrm{im}(f) \end{align*}

Nach dem Homomorphiesatz für K-Vektorräume gilt: \(V/ \mathrm{ker}(f) \cong \mathrm{im}(f)\), d.h. diese beiden Vektorräume haben die gleiche Dimension
Daraus folgt nach der Dimension von einem Faktorraum:

\begin{align*} \dim_K(V/ \mathrm{ker}(f)) =& \dim(V) - \dim(\mathrm{ker}(f)) \\ =& \dim(\mathrm{im}(f)) \end{align*}

und somit auch:

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(\mathrm{im}(f)) + \mathrm{dim}_{K}(\mathrm{ker}(f)) =& \mathrm{dim}_{K}(V) \end{align*}