Dimension von einem Faktorraum

Sei \(V\) ein K-Vektorraum mit \(\mathrm{dim}_{K}(V) < \infty\) und \(U \subseteq V\) ein Unterraum. Dann gilt:

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(V/U) =& \mathrm{dim}_{K}(V) - \mathrm{dim}_{K}(U) \end{align*}

folgt aus dem Lemma über die Basis von 2 Faktorräumen: Seien \(V/U\) und \(U/ \{0\}\) gegeben, so folgt wegen \(U/ \{0\} \cong U\) (siehe: Dimension von Isomorphen K-Vektorräumen)

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(V) =& \mathrm{dim}_{K}(V/U) + \mathrm{dim}_{K}(U/\{0\}) \\ =& \mathrm{dim}_{K}(V/U) + \mathrm{dim}_{K}(U) \end{align*}

und damit auch

\begin{align*} \mathrm{dim}_{K}(V/U) =& \mathrm{dim}_{K}(V) - \mathrm{dim}_{K}(U) \end{align*}