Basis von 2 Faktorräumen

1. Lemma

Sei $V$ ein K-Vektorraum und seien $U \subseteq W \subseteq V$ Unterräume und sei $\{w_i + U \vert i \in I\}$ eine Basis von $W/U$ und $\{v_j + W \vert j \in J\}$ eine Basis von $V/W$. Dann ist $\{w_i + U, v_j + U \vert i \in I,j \in J\}$ eine Basis von $V/U$

2. Beweis

2.1. Erzeugendensystem

Sei $v \in V$, so existieren $\alpha_j \in K$, sodass $v + W = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j(v_j + W)$ und daraus folgt: $a - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j \in W$ Somit existieren $\beta_i \in k$, sodass

\begin{align*} (a - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j ) + U = \sum_{i=1}^{m} \beta_i (w_i + U) \\ a + U = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j(v_j + U) + \sum_{i=1}^{m} \beta_i(w_i + U) \end{align*}

d.h. $V/U = \langle v_j + U, w_i + U \vert i \in I, j \in J\rangle$

2.2. Lineare Unabhängigkeit

Sei

\begin{align*} \sum_{j=1}^n \alpha_j (v_j + U) + \sum_{i=1}^{m} \beta_i (w_i + U) = 0 \end{align*}

So folgt

\begin{align*} \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j + \sum_{i=1}^m \beta_i w_i \in U \end{align*}

Da $W \subseteq V$ ein Unterraum ist, folgt aus $w_i ∈ W$dann auch $\sum_{i=1}^{m} \beta_i w_i \in W$ und in $V/W$ gilt

\begin{align*} \sum_{j=1}^{n} \alpha_j (v_j +) \end{align*}