Dimension von Isomorphen K-Vektorräumen

1. Satz

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und sei \(\mathrm{dim}_K(V) < \infty\). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\(\mathrm{dim}_K(V) = \mathrm{dim}_K(W)\)
\(V \cong W\)

2. Beweis

2.1. 1) \(\implies\) 2)

Sei \(\mathrm{dim}_K(V) = n\) und seien \({a_1,...,a_n}\) und \(b_1,...,b_n\) eine Basis von \(V\) bzw. \(W\) Nach dem Lemma über die Eindeutigkeit eines Homomorphismus durch die Abbildungen der Basen folgt, dass es genau einen Homomorphismus \(f: V \rightarrow W\) mit \(f(a_i) = b_i\) gibt

2.1.1. Monomorphismus

Nach dem Lemma über die Äquivalenz von einem Monomorphismus und einem minimalen Kern ist zu zeigen: \(\mathrm{ker}(f) = \{0\}\) Sei \(\sum_{i=1}^n \beta_i a_i = a \in \mathrm{ker}(f)\), so folgt:

\begin{align*} 0 =& f(a) \\ =& \sum_{i=1}^n \beta_i f(a_i) \\ =& \sum_{i=1}^n \beta_i b_i \end{align*}

Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basis \(b_i\) folgt, dass \(\beta_i = 0\) ist, d.h. \(\sum_{i=1}^n 0 f(a_i) = 0\)

2.1.2. Epimorphismus

sei \(b \in W\). Dann existiert eine Linearkombination \(b =& \sum_{i=1}^n \beta_i b_i\) und für \(a = \sum_{i=1}^n \beta_i a_i\) folgt

\begin{align*} f(a) =& \sum_{i=1}^n \beta_i f(a_i) \\ =& \sum_{i=1}^n \beta_i b_1 \end{align*}

2.2. 2) \(\implies\) 1)

Sei ein Vektorraumisomorphismus \(f: V \rightarrow W\) gegeben Da \(f\) ein Epimorphismus ist, folgt dass für beliebiges \(b \in W\) ein \(a = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i a_i\) für eine Basis \(a_1,...,a_n\) von \(V\) existiert, sodass \(f(a) = b\) gilt. Damit folgt:

\begin{align*} b \in \langle f(a_1),...,f(a_n)\rangle = W \end{align*}

D.h. \(b_i = f(a_i)\) ist ein Erzeugendensystem. Sei

\begin{align*} 0 =& \sum_{i=1}^n {\alpha_i} f(a_i) \\ =& f(\sum_{i=1}^n \alpha_i a_i) \\ \end{align*}

Da \(f\) ein Monomorphismus ist, folgt wegen \(f(0) = 0\)

\begin{align*} \sum_{i=1}^n \alpha_i a_1 =& 0 \end{align*}

und wegen der linearen Unabhängkeit \(\alpha_i = 0\). Daraus folgt, dass \(f(a_1),...,f(a_n)\) ebenfalls linear unabhängig ist und somit auch eine Basis