Existenz und Eindeutigkeit eines Homomorphismus durch die Abbildungen der Basis

Seien \(V,W\) K-Vektorräume und \(\{a_j \vert j \in J\}\) eine Basis von \(V\) und seien \(c_j \in W, j \in J\) beliebig aber fest:
Dann existiert genau ein Homomorphismus \(f: V \rightarrow W\) mit \(f(a_j) = c_j\)

Sei \(v \in V\).
Dann existiert eine per Definition eine Linearkombination \(v = \sum_{j \in J}^{} \alpha_j a_j\) und desweiteren ist sie eindeutig.
Aufgrund der Verträglichkeit gegenüber Addition und Multiplikation könnnen wir unseren Homomorphismus konstruieren durch:

\begin{align*} f(\sum_{j\in J} \alpha_j a_j) =& \sum_{j \in J} f(\alpha_j a_j) \\ =& \sum_{j \in J} \alpha_j \cdot f(a_j) \end{align*}

Da \(f(a_j), \alpha_j\) wohldefiniert sind, folgt dass der Eidnruck eindeutig ist und nach konstruktion ist unsere Abbildung ein Homomorphismus