Eindeutigkeit der Linearkombination mit einer Basis

Sei \(V\) ein K-Vektorraum mit der Basis \(v_1,...,v_j\) und \(\overline{v} \in V\). Dann ist die Linearkombination eindeutig.

Seien \(v = \sum \alpha_i a_i = \sum \beta_i a_i\) zwei Linearkombinationen Dann gilt:

\begin{align*} 0 =& \sum (\alpha_i - \beta_i) a_i \end{align*}

Nach Definition ist eine Basis linear unabhängig, d.h. \(\alpha_i - \beta_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = \beta_i\) Daraus folgt, dass die Linearkombinationen identisch sind.