Distributivität der Matrixmultiplikation

Sei \(R\) ein Ring und seien \(A,A' \in R^{m \times l}\) sowie \(B,B' \in R^{l \times n}\) Matrizen so folgt:

\begin{align*} (A + A') B =& AB + A'B \\ A (B + B') =& AB + AB' \\ \end{align*}

Seien \(A = (\alpha_{ij}), A' = (\alpha_{ij}')\) und \(B = (\beta_{jl})\) so folgt:

\begin{align*} c_{il} =& \sum_{j=1}^{n} (\alpha_{ij} + \alpha_{ij}') \beta_{jl} \\ =& \sum_{j=1}^{n} (\alpha_{ij} \beta_{jl} + \alpha_{ij}') \beta_{jl} \\ =& \sum_{j=1}^{n} (\alpha_{ij} \beta_{jl} + \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij}') \beta_{jl} \\ =& AB + A'B \end{align*}

analog für die andere Seite