Basiswechsel
1. Satz
Seien \(V,W\) K-Vektorräume mit Basen \(X = \{v_1,...,v_n\},X' = \{v_1',...,v_n'\}\) bzw. \(Y = \{w_1,...,w_m\}, Y' = \{w_1',...,w_m'\}\) so dass gilt:
\begin{align*} v_j' = \sum_{i=1}^{n} \beta_{ij} v_i \\ w_n' = \sum_{k=1}^{m} \gamma_{kl} w_k \end{align*}Dann sind \((\beta_{ij})\) bzw. \((\gamma_{kl})\) invertierbar und für \(f \in \mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) gilt
\begin{align*} A_{f,X',Y'} = (y_{kl})^{-1} A_{f,X,Y} (\beta_{ij}) \end{align*}2. Beweis
Seien \(\mathrm{id}_{V}\) und \(\mathrm{id}_{W}\) die Identitätsabbildungen. Wegen:
\begin{align*} \mathrm{id}_{V}(v_{j}') = v_j' = \sum_{i=1}^{n} \beta_{ij} v_i \\ \mathrm{id}_{W}(w_{l}') = w_l' = \sum_{k=1}^{m} \beta_{kl} w_k \end{align*}gilt \(A_{\mathrm{id}_{V}, X', X} = (\beta_{ij})\) und \(A_{\mathrm{id}_{W}, Y, Y'} = (\gamma_{kl})^{-1}\) Nach der Verknüpfung von Homomorphismen durch Matrixmultiplikation folgt somit
\begin{align*} A_{f, X', Y'} =& A_{\mathrm{id}_{W} \circ f \circ \mathrm{id}_{V}, X',Y'} \\ =& A_{\mathrm{id}_{W}, Y,Y'} \cdot A_{f,X,Y} \cdot A_{\mathrm{id}_{V}, X', X} \\ =& (\gamma_{kl})^{-1} \cdot A_{f,X,Y} \cdot (\beta_{ij}) \end{align*}