Verknüpfung von Homomorphismen durch Matrixmultiplikation

Seien \(U,V,W\) K-Vektorräume mit Basis \(X\) für \(U\), \(Y\) für \(V\) und \(Z\) für \(W\). Seien \(g \in \mathrm{Hom}_{K}(U,V)\), \(f \in \mathrm{Hom}_{K}(V,W)\) und \(A_{g,X,Y}, A_{f,Y,Z}\) die jeweiligen Matrizen dann gilt für

\begin{align*} A_{fg,X,Z} = A_{f,Y,Z} \cdot A_{f,X,Y} \end{align*}

mit nach der Matrixmultiplikation, bzw. für den Isomorphismus zwischen Matrixdarstellung und Homomorphismus

\begin{align*} \kappa(f \circ g) =& \kappa(f) \cdot \kappa(g) \end{align*}

Für \(f(v_j) = \sum_{i=1}^{m} \alpha_{ij} w_i\) und \(g(u_s) = \sum_{j=1}^{n}\beta_{js} v_j\) folgt:

\begin{align*} (fg)(u_s) =& f(g(u_s)) \\ =& f(\sum_{j=1}^{n} \beta_{js} v_j) \\ =& \sum_{j=1}^{n} \beta_{js} f(v_j) \\ =& \sum_{j=1}^{n} \beta_{js} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{ij} w_i \\ =& \sum_{j=1}^{n} \left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_{ij} \beta_{js} \right) w_i \end{align*}

das heißt

\begin{align*} A_{fg,X,Z} = (c_{is}) \end{align*}

mit \(c_{is} = \sum_{j=1}^{n} \alpha_{ij} \beta_{js}\)