Isomorphie zwischen Matrixdarstellung und Homomorphismus
1. Satz
Seien \(U,V\) K-Vektorräume mit Basen \(X = \{u_1,...,u_k\}, Y = \{v_1,...,v_n\}\) Dann gilt: Die Abbildung
\begin{align*} \kappa : \mathrm{Hom}_{K}(U,V) \rightarrow K^{n \times k} \\ f \mapsto A_{f,X,Y} \end{align*}ist ein K-Algebraisomorphismus zwischen K-Algebren.
2. Beweis
Da \(\mathrm{Hom}_{K}(U,V)\) und \(K^{m \times n}\) die gleiche Dimension haben (siehe: Dimension) bleibt nach Lemma über die Äquivalenz von Isomorphismus, Monomorphismus und Epimorphismus für Vektorräume endlicher Dimension zu zeigen: \(\kappa\) ist ein Monomorphismus
2.1. Vektorraumhomomorphismus
Beweis durch nachrechnen <todo> Sei \(\alpha \in K\) und \(f,g \in \mathrm{Hom}_{K}(U,V)\) mit \(f(u_j) =& \sum_{i=1}^{n} \alpha_{ij} v_j\) und \(g(u_j) =& \sum_{i=1}^{n} \alpha'_{ij} v_j\) Dann gilt:
\begin{align*} (f + g) =& \sum_{i=1}^{n} (\alpha_{ij} + \alpha_{ij}') v_j \\ \alpha \cdot f =& \sum_{i=1}^{n} \alpha \alpha_{ij} v_j \end{align*}Zudem gilt für die Matrix:
\begin{align*} A_{f,X,Y} =& (\alpha_{ij}) \\ A_{g,X,Y} =& (\alpha'_{ij}) \\ =& A_{f+g,X,Y} =& (\alpha_{ij} + \alpha'_{ij}) \\ =& (\alpha_{ij}) + (\alpha'_{ij}) \\ A_{f,X,V} + A_{g,X,V} \end{align*}bzw.
\begin{align*} A_{\alpha f,X,Y} =& (\alpha \alpha_{ij}) \\ =& \alpha (\alpha_{ij}) \\ =& \alpha A_{f, X, Y} \end{align*}d.h. es gilt:
\begin{align*} \kappa(f + g) =& A_{f + g, X,Y} \\ =& A_{f, X,Y} + A_{g,X,Y} \\ &= \kappa(f) + \kappa(g) \end{align*}bzw.
\begin{align*} \kappa(\alpha f) =& A_{\alpha f, X,Y} \\ =& \alpha A_{f,X,Y} \\ =& \alpha \kappa(f) \end{align*}2.2. K-Algebrenhomomorphismus für Multiplikation von Vektoren
2.3. Bijektion`
\(\kappa\) ist injektiv, da \(A_{f,X,Y}\) nach Definition die Nullmatrix ist, g.d.w. \(f\) die Nullabbildung ist (siehe Äquivalenz von einem Monomorphismus und einem minimalen Kern) Wegen der Äquivalenz von Isomorphismus, Monomorphismus und Epimorphismus für Vektorräume endlicher Dimension folgt damit, dass \(\kappa\) ein Isomorphismus ist und damit auch bijektiv