Transponieren einer Matrix als Isomorphismus

Satz

Sei \(A \in K^{m \times n}\) eine Matrix.
Dann ist die Abbildung auf die Transponierte

\begin{align*} K^{m \times n} \rightarrow& K^{n \times m} \\ A \mapsto A^{t} \end{align*}

Beweis

Sei \((\alpha_{ij}), (\beta_{ij}) \in K^{m \times n}\) mit \(1 \leq i \leq m\) und \(1 \leq j \leq n\) und \(\lambda \in K\), so gilt:

Bijektion

die Abbildung ist eine Involution, da gilt:

\begin{align*} \left((\alpha_{ij})^t\right)^t =& (\alpha_{ji})^t \\ =& (\alpha_{ij}) \end{align*}

\begin{align*} ((\alpha_{ij}) + (\beta_{ij}))^t =& ( \alpha_{ij} + \beta_{ij})^t \\ =& (\alpha_{ji} + \beta_{ji}) \\ =& (\alpha_{ji}) + (\beta_{ji}) \\ =& (\alpha_{ij})^t + (\beta_{ij})^t \end{align*}

für

\begin{align*} (\lambda \cdot (\alpha_{ij}))^t =& (\lambda \cdot \alpha_{ij})^t \\ =& (\lambda \cdot \alpha_{ji}) \\ =& \lambda \cdot (\alpha_{ji}) \\ =& \lambda \cdot (\alpha_{ij})^t \end{align*}

Transponieren einer Matrix als Isomorphismus

Satz

Beweis

Bijektion

Vektorraumhomomorphismus