kernel as normal subgroup

Seien \(G,H\) Gruppen und sei \(f: G \rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus Dann ist \(\mathrm{ker}(f) \leq G\) ein Normalteiler

Sei \(g \in \mathrm{ker}(f)\). Dann folgt für \(a \in G\)

\begin{align*} f_{a}(g) =& g^{-1}ag \end{align*}

Desweiteren gilt wegen der Abbildung des inversen Elements

\begin{align*} f(g^{-1}ag) =& f(g^{-1})f(a)f(g) \\ =& f(g)^{-1}ef(g) \\ =& f(g)^{-1}f(g) \\ =& e \Rightarrow g^{-1}ag \in \mathrm{ker}(f) \end{align*}