multiplicativity of the determinant

Sei \(R\) ein Ring und \(A,B \in R^{n \times n}\) Dann gilt:

\begin{align*} \mathrm{det}(AB) =& \mathrm{det}(A)\mathrm{det}(B) \end{align*}

Nach der Determinante als Abstrakte Volumenfunktion und der Definition als abstrakten Volumenfunktion gilt für die Abbildung

\begin{align*} f_B: (R^n)^n \rightarrow& R \\ \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} \mapsto& f_{det}(\begin{pmatrix} z_1 B \\ \vdots \\ z_n B \end{pmatrix} \\ =& \mathrm{det}(AB) \end{align*}

Es folgt, dass die Abstrakte Volumenfunktion eine skalierte Determinante ist, d.h. es gilt:

\begin{align*} f_B( \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} ) =& f_{det}(\begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} ) \cdot c(B) \\ =& \mathrm{det}(A) \cdot c(B) \end{align*}

Sei \(A = E_n\), so folgt

\begin{align*} \mathrm{det}(B) =& \mathrm{det}(E_n \cdot B) \\ =& f_B(\begin{pmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_2 \end{pmatrix} \\ =& \det(E_n) \cdot c(B) \\ =& c(B) \end{align*}

Also gilt \(c(B) = \mathrm{det}(B)\) und daraus folgt für:

\begin{align*} f_{det}(AB) =& \det(Ab) \\ =& \det(A) \cdot \det(B) \end{align*}