Epimorphismus von der Symmetrischen Gruppe auf das Vorzeichen

folgt aus der Darstellung einer Permutation als Produkt von Transpositionen

Sei \(T = \{i,j\} \subseteq \{1,2,...,n\}\) mit $ i ≠ j$ Für \(\tau \in S_n\) sei

\begin{align*} Z_{\tau}(T) = \begin{cases} 1 & \mbox{if } \tau(i) \leq \tau(j) \\ -1 & \mbox{if } \tau(i) > \tau(j) \\ \end{cases} \end{align*} \begin{align*} \mathrm{sgn}(\tau) \coloneqq \prod_{T} Z_{\tau}(T) \in \{-1,1\} \end{align*}

Für \(\rho \in S_n, t = \{i,j\}\) setze \(\rho T = \{\rho(i),\rho(j)\}\)

Dann ist:

\begin{align*} Z_{\rho \tau}(T) = Z_{\tau} (\rho T) \cdot Z_{\rho}(T) \end{align*}

beweis durch fallunterscheidung

\begin{align*} \mathrm{sgn}(\rho \tau) = \prod_{T}^{} Z_{\rho T}(T) = \prod_{T}^{} Z_{T(\rho \tau)} \prod_{T}^{} Z_{\tau}(T) \end{align*}