Division mit Rest über Polynomen über einem Körper

1. Satz

Sei \(K\) ein Körper und \(f,g \in K[x]\) mit \(g \neq 0\). Dann existieren eindeutige Polynome \(h,r \in K[x]\), s dass gilt

\begin{align*} f =& gh + r \\ \mathrm{deg}(r) <& \mathrm{deg}(g) \end{align*}

2. Beweis

2.1. Existenz

2.1.1. \(\mathrm{deg}(f) < \mathrm{deg}(g)\)

Setze \(h = 0\) und \(r = f\)

2.1.2. \(\mathrm{deg}(f) \geq \mathrm{deg}(g)\)

Sei \(f \coloneqq \sum_{j=0}^{m} a_j x^j\) und \(g \coloneqq \sum_{k=0}^{n} b_k x^{m - n}\) mit \(m \geq n\) Dann sei

\begin{align*} f_1 = f - \frac{a_m}{b_n}x^{m-n} g =: c_0 + ... + c_{m-1} x^{m-1} \end{align*}

Es folgt \(\mathrm{deg}(f_1) \leq m - 1\) Beweis durch vollständige Induktion :

2.1.2.1. Induktionsanfang

Sei \(m = 0\), so folgt \(f = a_0 \neq 0\) und nach Annahme auch \(g = b_0 \neq 0\) Dann sei \(hh = b_0^{-1} a_0\) und \(r = 0\)

2.1.2.2. Induktionsschritt

2.2. Eindeutigkeit

Sei \(f = h_2g + r_2 = h_1 g + r_1\) mit \(\mathrm{deg}(r_1), \mathrm{deg}(r_2) < \mathrm{deg}(g)\), so folgt für

\begin{align*} r_1 - r_2 = (h_2 - h_1) g \end{align*}

Für \(h_1 \neq h_2\) folgt \(\mathrm{deg}(h_2 - h_1) \geq 0\) und es gilt wegen dem Grad von Polynomen unter Rechenoperationen

\begin{align*} \mathrm{deg}(g) \leq& \mathrm{deg}(g) + \mathrm{deg}(h_2 - h_1) \\ =& \mathrm{deg}(r_1 - r_2) \\ \leq& \mathrm{max}(\mathrm{deg}(r_1), \mathrm{deg}(r_2)) \\ <& n \end{align*}

Damit folgt \(h_1 = h_2\) und damit auch \(r_1 = r_2\)