Komplexprodukt von Idealen als Ideal

1. Satz

Sei \(R\) ein Ring und \(I,J \subseteq R\) Ideale. Dann folgt, dass

\begin{align*} IJ = \left\{ \sum_{i=1}^{m} x_iy_i \vert x_i \in I, y_i \in j \right\} \end{align*}

auch ein Ideal ist.

2. Beweis

2.1. abelsche Gruppe

Sei \(\sum_{i=1}^{m} x_iy_i \in IJ\). Dann gilt, dass \(\sum_{i=1}^{m} x_i(-y_i) \in IJ\) und es folgt:

\begin{align*} \sum_{i=1}^{m} x_iy_i + \sum_{i=1}^{m} x_i(-y_i) =& \sum_{i=1}^{m} x_i(y_i - y_j) \\ =& \sum_{i=1}^{m} x_i \cdot 0 \\ =& \sum_{i=1}^{m} 0 \\ =& 0 \end{align*}

Abgeschlossenheit der addition folgt nach konstruktion, neutrales element folgt

2.2. Abgeschlossenheit

Seien \(r,r' \in R\) und \(\sum_{i=1}^{m} x_iy_i \in IJ\) dann folgt

\begin{align*} r \cdot \sum_{i=1}^{m} x_iy_i \cdot r' =& \sum_{i=1}^{m} (r \cdot x_i)(y_i \cdot r') \end{align*}

mit \(r \cdot x_i \in I, y_i \cdot r' \in J\)