von einem Element erzeugtes Ideal

1. Definiton / Satz

Sei \(R\) ein Ring und \(a \in R\). Dann ist das von \(a\) erzeugte Ideal:

\begin{align*} H = \{r \cdot a \cdot r' \vert r,r' \in R\} \end{align*}

Sei \(r \cdot a \cdot r' \in H\), so folgt für \(r \cdot a \cdot (-r) \in H\) aufgrund des Distributivgesetz

\begin{align*} r \cdot a \cdot r' + r \cdot a \rdot (-r) =& r\cdot a \cdot (r + (-r)) \\ =& r \cdot a \cdot 0 \\ =& 0 \end{align*}

und \(0 = 0 \cdot a \cdot 0 \in H\)

trivial