preimage of a closed set and continuous map

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• \(f\) ist stetig
• Das Urbild einer abgeschlossenen Menge ist ebenfalls abgeschlossen

Sei \(A' \subseteq X'\) eine abgeschlossene (offene) Menge, so ist \(f^{-1}[A']\) abgeschlossen abgeschlossen (offen) und aus dem Komplement des Urbilds folgt, dass \(f^{-1}[X' \setminus A'] = X \setminus f^{-1}[A']\) Dabei sind \(X' \setminus A'\) bzw. \(X \setminus f^{-1}[A']\) offene (abgeschlossene) Mengen (vgl. Definition einer abgeschlossenen Menge)