Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt und Umgebungsbasen

1. Satz

Seien \((X, \mathcal{T})\) und \((X', \mathcal{T}')\) topologische Räume und \(f: X \rightarrow X'\) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\(f\) ist stetig in einem Punkt (Topologie)
für \(x \in X\) und Umgebungsbasen \(\mathcal{B}(x)\), \(\mathcal{B}(f(x))\) gilt:

\begin{align*} \forall V \in \mathcal{B}(f(x)) \exists U \in \mathcal{B}(x) : f[U] \subseteq V \end{align*}

2. Beweis

2.1. a)

Nach Konstruktion ist \(V\) eine Umgebung, ebenso wie \(U\), d.h. es ist bloß ein spezialfall von der Definition der Stetigkeit in einem Punkt

2.2. b)

Sei eine beliebige Umgebung \(V \in \mathcal{U}(f(x))\) gegeben, so existiert eine Umgebung \(V' \subseteq V\) mti \(V' \in \mathcal{B}(f(x))\) und nach Annahme dann auch eine Umgebung \(U \in \mathcal{B}(x)\), so dass gilt:

\begin{align*} f[U] \subseteq V' \subseteq V \end{align*}