Initialtopologie als gröbste Topologie für die Stetigkeit der Abbildungen

Sei eine Menge und eine Familie von topologischer Räumen mit jeweils einer Abbildung Dann ist die Initialtopologie die gröbste Topologie, so dass die Familie jeweils stetig ist

Sei eine Topologie auf , so dass mit jeweils stetig ist. Dann lässt sich auf folgende Weise Faktorisieren.

Nach Universeller Eigenschaft gilt, dass stetig ist, da stetig ist. Somit folgt aus der Aussage über die Feinere Topologie und Identitätsabbildung, dass , d.h. ist gröber